1. 因果局域與細胞自動機

這個世界上，沒有任何東西（有形的、無形的、原子或位元）能夠以超光速移動，對吧？

我們活在狹義相對論被證實之後的時代。我們相信因果關係：結果必定發生在原因之後。我們相信任何因果效應的傳遞，速度都不能超過真空光速。我們熟習閔考斯基圖，理解「因」必定在「果」的過去光錐裡。因果效應是以有限的速度傳播的，不能忽視距離的存在。這樣的認知模型，可稱為「因果局域性」。

「因果局域性」這個認知模型如此普及，以至於在電腦科學領域裡，Leslie Lamport 定義了「發生在前」關係（happened-before relation，記作 →）；後來的研究者（Ahamad 等人，1995 年）以它為基礎，為分散式系統定義了「因果一致性」：給定一個有許多進程的系統，給定任兩個操作 A 和 B 滿足 A→B，如果系統中任何一個進程，都保證先看到 A 再看到 B，則這個系統是「因果一致」的。在這樣的系統裡，所有進程都看到一樣的因果順序。

我們可以從電腦科學角度觀察「因果局域性」：細胞自動機。讓我們設計以下的細胞自動機規則：

• 在二維平面上，有兩顆大球，一顆在左，一顆在右。
• 左球和右球，在每一個時間步，都會各自投擲一枚 50-50 機率的硬幣，決定下一個時間步自己是什麼顏色。
• 一旦「量測」一顆球，該球就會凍結在量測瞬間的顏色，並且朝另一顆球發射一枚中介子，中介子攜帶自己的顏色。
• 被中介子碰到的球，會凍結成該色，並且將中介子吸收。

啟動這個細胞自動機，並在一段時間之後量測右球，你可能觀察到下面的結果：

你會發現左球顏色有兩種狀態：

1. 狀態一：量測右球之後、中介子尚未到達左球之前，左球的顏色是 50-50 隨機的紅與藍。
2. 狀態二：量測右球、中介子碰到左球之後，左球必定與右球同色。

在量測右球後，左球的顏色，取決於中介子移動速度。

在這個細胞自動機裡，所有規則都是針對相鄰格點而制定（每一格有八個鄰居，稱為 Moore 鄰域）。這項侷限讓細胞自動機必須遵守「因果局域性」，畢竟所有改變只能夠透過鄰居傳遞。中介子的移動速度恰好為「每一個時間步，移動一格」。「一步一格」的速度，是這個細胞自動機小宇宙裡的「真空光速」。而這個系統，可以被理解為「透過局域因果效應互動的系統」。

假如我們讓中介子以更快的速度移動，那麼，我們將更容易量到左右兩球顏色相同的情況。

現在，使用我們的想像力，考慮「時間步為無限小」的情形：兩球以「無限快」的速度在紅藍兩色之間隨機閃爍，中介子則以「無限快」的速度移動。

再次考慮上述實驗，我們發現狀態一消失了，只剩下狀態二。使用狄拉克符號（Dirac notation），將紅色表示為 $\ket{R}$、藍色表示為 $\ket{B}$，則在時間步無限小的情形下，兩球顏色的量測統計，與下面這個量子態相同：

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{RR} + \ket{BB})$$

這行數學代表：有二分之一的機率，我們將測到兩球皆為紅色；另外二分之一的機率，將測到兩球皆為藍色。

中介子以「無限速度」移動，導致「因果效應」違背局域性、以無限速度傳播。這個使用細胞自動機的思考實驗，展示了「量子糾纏」的效果。

量測一顆球（因），另一顆球「立刻」凍結為同色（果），這個因果效應無視距離的瞬間傳播，愛因斯坦（Albert Einstein）稱之為「鬼魅般的超距作用」（spooky action at a distance）。

2. 愛因斯坦擔憂的超距力量

大谷翔平的指叉球，以直球球路前進，到本壘前卻快速掉落，落在好球帶右下角，再次誘騙打者揮棒落空。

有辦法準確計算指叉球的落點嗎？常識告訴我們，仔細考慮越多因素，並且不犯下任何計算上的錯誤，就能持續提高計算結果的準確度。首先，考慮棒球離手瞬間的速度向量。接下來，考慮棒球離手瞬間的角速度向量。如有需要，考慮棒球飛行過程中的每一刻，所在位置的地心引力、風向、氣壓、濕度等因素。考慮使用最精確的電腦，使用最小的網格，進行有限元素法模擬。我們相信，考慮越多因素，並保持計算嚴謹，就有辦法無限逼近真相。

這個信仰的一個必然結果（corollary）：如果計算結果偏離真相，而且我們確定並沒有犯下任何計算錯誤，那麼，必定還有應考慮而未考慮的因素作祟。

這個信仰，用更抽象一點的語言表示，就是「實在論」：宇宙裡一切事物都客觀實在。我們如果觀測一個系統 X，得到觀測結果 Y，是因為 X 在觀測前「本來」就有某種確定、實在的狀態值，透過我們的觀測手法得到 Y 的結果。

想像一個簡單的橫向捲軸遊戲：作為玩家，你處在地圖中的某處，你的視野有侷限，只能看到附近的樣貌，例如幾隻會走路的蘑菇人。然而，遊戲系統在背景裡，孜孜不倦的計算地圖裡所有事物的行為，不管那些事物有沒有出現在你的視野裡。這就是「實在論」的體現。

套用在宇宙的尺度，「實在論」告訴我們，無論是否受到有意識的主體觀察，宇宙的任一處，在任一時刻，都完美依照宇宙法則，老老實實的演變。

狡猾的遊戲設計師，在能力有限的運算平台上，想要創造豐富的遊戲體驗，老早就脫離了「實在論」。1985 年由任天堂推出的《超級瑪利歐兄弟》，並不遵守「實在論」。玩家在地圖某處，玩家視野被稱為 visible screen，比視野稍大的一個範圍被稱為 relevant screen。relevant screen 內的遊戲地圖才受到遊戲系統運算的青睞，逐幀更新；在那之外，怪物尚未誕生、事物被凍結在「初始狀態」。「玩家觀測不到的地方，就別計算了」這樣的作法，可以顯著節省記憶體與運算量，也對遊玩體驗沒有顯著影響。

然而，我們基本上不相信，宇宙也玩這套把戲、在不受觀測的地方胡作非為。我們基本上相信宇宙中一切的一切都孜孜不倦、像機械齒輪般精巧、準確的演變著。

將「實在論」和「因果局域性」結合，就是著名的「局域實在論」：一切存在都是客觀的，獨立於任何觀測，並且在某區域發生的事件，不能以超越光速的方式影響其他區域。

假如你此刻抱持這個信仰，認為理所當然，那麼你的認知已過時一百年了。一百年前，這個信仰就受到量子力學的挑戰。

挑戰實在論

1925 年春天，戴維森-革末實驗（Davisson–Germer experiment）發現，原本要探討的電子散射現象（你可以理解為微觀的撞球實驗），顯現超乎預期複雜的散射分佈。1926 年，他們得知德布羅意（Louis de Broglie）和薛丁格（Erwin Schrödinger）的量子力學理論，主張電子具有波的性質，被玻恩（Max Born）鼓勵往「波的繞射」而非「粒子散射」的方向研究。1927 年春天，戴維森和革末發表實驗結果：電子打在鎳晶體表面後散射回來，只在特定角度特別強，正是波被晶格繞射的特徵。

粒子具有波的特性，正是對實在論的挑戰。一個粒子，在一個時刻，只能實實在在的存在於一個地方。量子力學理論卻說，一個粒子的位置，並沒有實實在在的唯一存在，而是機率性的漫佈在空間中、由波動理論描述。

1927 年 10 月，在布魯塞爾舉辦、眾星雲集的第五次 Solvay 會議（Solvay Conference），主題為「電子和光子」。愛因斯坦和波耳（Niels Bohr）爭辯量子力學是否能夠完整描述宇宙一切行為。愛因斯坦認為不，波耳認為可。愛因斯坦針對電子繞射實驗，提出一個思考實驗：

• 製備一個系統，包含電子槍、狹縫、成像屏幕。
• 量子力學宣稱，宇宙只能告訴我們「電子穿過狹縫之後，在屏幕上某處出現的機率」；愛因斯坦認為這種只能給出機率、給不出精確位置的問題，是因為存在應考慮而未考慮的因素作祟（回想稍早我們對大谷翔平指叉球落點的討論）。
• 假如我們仔細觀察電子穿過狹縫時，狹縫的微小變化，例如狹縫被電子撞到而出現的微小反衝，那麼我們就能得知更多、超過量子力學極限的資訊，有利於推斷電子軌跡（回想稍早的討論：風向、氣壓、濕度！）。

波耳說，如果我們去精確觀察狹縫的反衝（動量），那麼量子力學的測不準原理表示，我們就無法擁有確切的狹縫位置資訊；由於繞射斑紋取決於狹縫位置，如果狹縫位置模糊，繞射圖像就會亂成一團，斑紋消失。

愛因斯坦並不滿意。他認為肯定有應考慮而未考慮的因素作祟。只有「機率」、沒有確定性這種事情，肯定是人類物理學的缺陷，宇宙不會使用這種不精確、擲骰子般的作法來演變。

海森堡（Werner Heisenberg）回憶：

• 愛因斯坦：「上帝不擲骰子。」（God does not play dice.）
• 波耳：「告訴上帝該怎麼管理世界，不是我們的事。」（It cannot be for us to tell God how he is to run the world.）

挑戰局域性

第五次 Solvay 會議上，愛因斯坦提出另一個思考實驗：

• 製備一個系統，包含電子槍、小孔、成像屏幕。
• 量子力學說，一顆電子穿過小孔後，形成一個半球形的「電子波」，電子存在位置可由這個波的形狀來描述；儘管電子波朝各方向擴散，實驗告訴我們，如果電子槍打出一顆電子，成像屏幕上只會出現一個點。
• 假如電子波就是電子在穿過小孔後的「實在」，那麼這個「實在」由波的形狀（散佈在空間中）從小孔出發，抵達屏幕後卻變成單點，有賴於某種無視距離的瞬間資訊傳遞方式：由於電子波涵蓋屏幕各處，屏幕測到電子的那一點，要瞬間通知屏幕其他所有位置：「嘿，電子在我這！你們那裡不准測到電子了！」
• 這種無視距離的力量，違背局域性，匪夷所思，根本見鬼了，是一種「鬼魅般的作用」。

量子力學同時挑戰「實在論」和「局域性」：事物沒有實在，只能以「機率」描述，並且存在違背局域性的超距力量來支配機率變化。

會議後多年，愛因斯坦依舊不滿。1935 年的 EPR 論文，就是想要挑戰這件事：想像兩顆粒子 A 和 B 交互作用後分開，總動量為零，彼此的距離也是確定的。我們可以自由選擇要測 A 的動量或者位置。如果我們選擇測量 A 的動量，套用動量守恆，就能瞬間得知 B 的動量。假如我們選擇測量 A 的位置，由於兩者的距離是確定的，因此不用測就能瞬間得知 B 的位置。基於這個結果，假如我們相信「局域性」，也就是對 A 的測量無法瞬間影響 B，那麼 B 的動量和位置各自都是實實在在的，才有可能不用測就瞬間知道結果。最後，因為量子力學宣稱位置和動量只能精確描述其一，因此量子力學不完備——肯定還有應考慮而未考慮的因素作祟。

把這些作祟的因素稱為「隱變量」，這個理論就稱為「局域隱變量理論」（local hidden-variable theory，LHVT）。1951 年，EPR 論文的思考實驗被玻姆（David Bohm）重述，黏在一起的兩顆粒子，分開後因為角動量守恆，測量其中一顆粒子沿著某軸向的自旋值，就能得知另一顆粒子沿著相同軸向的自旋值。自旋值是離散的 $\pm 1$，比起連續的位置和動量，更容易透過實驗精確檢驗。1964 年，貝爾（John Bell）將這個思考實驗，具體化為一條不等式，可透過實驗數據統計值來證偽 LHVT。1969 年，John Clauser 等人，把貝爾思考實驗中仰賴的一個嚴格條件拿掉（即兩邊沿同一方向測量時，結果必須完美反相關；真實的光源、偏振器與偵測器都做不到），設計出一個更容易實驗的版本、一條新的不等式，稱為 CHSH 不等式。

Bell 不等式（CHSH 及其變體）至今已被數十個實驗違反，例如 Freedman & Clauser 1972、Aspect et al. 1982、Weihs et al. 1998、Hensen et al. 2015。

這些實驗結果，建議我們放棄「局域實在論」的信仰。取而代之，宇宙中存在能夠無視距離、將因果效應瞬間傳遞的超距力量。正是這個超距力量，負責量子糾纏系統裡的狀態更新。回想稍早的細胞自動機實驗，把兩球想成是量子糾纏系統，則中介子的移動速度是無限的，因此測量其中一顆球的顏色，另一顆球的顏色在同一個瞬間就被凍結為相同顏色。

3. 駕馭超距力量

CHSH 測試與不等式

讓我們首先理解 CHSH 不等式：$\langle a_1 \cdot b_1 \rangle + \langle a_1 \cdot b_2 \rangle + \langle a_2 \cdot b_1 \rangle - \langle a_2 \cdot b_2 \rangle \leq 2$。解釋如下。

Alice 和 Bob 兩名實驗者分隔兩地，中間有一對黏在一起的雙胞胎粒子。突然，這對雙胞胎分裂了，兩顆粒子各自朝向一名實驗者飛去。實驗者在乎的是這些粒子的自旋值，並且各自挑選兩個方向進行測量。例如，Alice 挑選的方向一是地面往天空的垂直方向，方向二則是與地面平行的右手方向。兩名實驗者可以任意挑選自己喜愛的方向。粒子自旋值測量的結果，不管是哪名實驗者、沿著哪個方向測量，結果只有可能是 +1 或 -1。+1 代表「測出粒子沿著測量方向自旋！」；-1 則代表「測出粒子沿著測量方向的反方向自旋！」

現在使用變數進行討論。Alice 的兩個測量方向為 $A_1$、$A_2$。沿著 $A_1$ 測量時的結果為 $a_1$，沿著 $A_2$ 測量的結果則為 $a_2$，$a_1, a_2 \in \{+1, -1\}$。Bob 的方向則是 $B_1$、$B_2$，結果為 $b_1$、$b_2$，$b_1, b_2 \in \{+1, -1\}$。Alice 和 Bob 將進行這個實驗許多次，各自記錄下測量結果，最後進行統計分析。

每一次實驗，Alice 和 Bob 的測量方向組合，其實只有四種可能：$A_1B_1$、$A_1B_2$、$A_2B_1$、$A_2B_2$。每一次實驗，Alice 和 Bob 的測量結果進行相乘，只有兩種可能：+1 或 -1。

CHSH 不等式的左邊是 $\langle a_1 \cdot b_1 \rangle + \langle a_1 \cdot b_2 \rangle + \langle a_2 \cdot b_1 \rangle - \langle a_2 \cdot b_2 \rangle$，其中 $\langle \rangle$ 是平均值。這些平均值是什麼意思呢？以 $\langle a_1 \cdot b_1 \rangle$ 為例：將所有實驗中，Alice 和 Bob 的測量組合為 $A_1B_1$ 的實驗挑出來，把每一次實驗的兩邊測量結果相乘，然後取平均。

因此這個式子的意義，就是從眾多實驗數據中，產出四種平均值，然後將前三種加在一起，再扣掉第四種。

假如我們相信「局域實在論」，代表粒子在分離之後，不再交換資訊，各自帶著自己的「實在值」前往各自的實驗者。例如，朝向 Bob 飛去的粒子，在剝離雙胞胎時就已經決定：「待會如果 Bob 測 $B_1$ 方向的話，我要給他 +1 的結果；如果他測 $B_2$ 方向，我則給他 -1。」透過窮舉這對雙胞胎粒子所有可能的「決定」，CHSH 論文的作者發現「局域實在論」會導致 $\langle a_1 \cdot b_1 \rangle + \langle a_1 \cdot b_2 \rangle + \langle a_2 \cdot b_1 \rangle - \langle a_2 \cdot b_2 \rangle \leq 2$。

然而，至今已有數十個實驗的統計數據違背了上述不等式。

CHSH 遊戲

有些學者的焦點並不在於「局域實在論」，畢竟他們（或者他們的指導老師）早在 Solvay 會議的年代就已經被波耳說服了。他們的焦點在於量子資訊技術：量子糾纏這種超距作用，在資訊領域有什麼用處？

在 2000 年代初，CHSH 不等式的實驗，被重述成一種合作式的資訊遊戲：Alice 和 Bob 分隔兩地，不能通訊；一名中立的裁判，給兩人各自提供一個隨機位元（值為 x、y），並要求兩人各自回覆給裁判一個位元（值為 a、b）。Alice 和 Bob 的獲勝條件是：

• 如果 x 和 y 都是 1，那麼 a 和 b 必須不同。
• 如果 x 和 y 是另外三種可能，那麼 a 和 b 必須相同。

濃縮為一個式子表示：$a \oplus b = x \land y$。

有趣的是，因為量子糾纏不算通訊，遊戲允許 Alice 和 Bob 共享、操作一對糾纏的量子（想像稍早細胞自動機裡的左右兩球，Alice 和 Bob 可以各執一顆）。

Alice 和 Bob 該怎麼玩呢？考慮遊戲的難處，兩人在第一種情況下必須給出相異的答案，在剩餘三種情況下則必須給出相同的答案，然而沒有辦法交流得知到底屬於哪一種情況。因此，假如不動用量子糾纏的力量，Alice 和 Bob 的最佳策略很簡單，就是在玩遊戲前就說好，待會無論如何兩人都回覆一樣的答案。勝率是 75%，不能再高。

假如使用量子糾纏的力量呢？Alice 和 Bob 可以建構出具有如下狀態的一對糾纏粒子：

$$\frac{1}{\sqrt{2}}( \ket{00} + \ket{11} )$$

這對粒子，只要兩邊沿著同一個方向測量（本例的測量方向都在同一個平面上），不管誰先測、測出什麼，兩邊的測量結果必定相同。

Alice 和 Bob 談好了如下策略：

• 各自選擇兩個測量方向，先以變數表示：Alice 的是 $A_1$、$A_2$，Bob 的則是 $B_1$、$B_2$。
• 遊戲進行時：
  • Alice 如果收到隨機位元 $x=0$，就沿著 $A_1$ 方向量測糾纏粒子，測量結果為 $a_1$；收到 $x=1$ 則沿著 $A_2$ 方向測量，測量結果為 $a_2$。
  • Bob 收到 $y=0$ 就沿著 $B_1$ 方向測量，結果為 $b_1$；收到 $y=1$ 則沿著 $B_2$ 方向測量，結果為 $b_2$。
• 測量結果只能是 +1 或 -1，同 CHSH 測試。
• Alice 和 Bob 各自將測量結果作為答覆，交給裁判。

為了最大化勝率，$A_1$、$A_2$、$B_1$、$B_2$ 應該要是哪些方向呢？遊戲規則告訴我們，當 $x=y=1$ 時，Alice 和 Bob 的答覆必須相異才能獲勝，也就是 $a_2 \cdot b_2$ 的結果必須是負值。因此，Alice 和 Bob 等於是要最大化下列的統計值：

$$\langle a_1 \cdot b_1 \rangle + \langle a_1 \cdot b_2 \rangle + \langle a_2 \cdot b_1 \rangle - \langle a_2 \cdot b_2 \rangle$$

這不就是 CHSH 不等式的左邊嗎！

略過推導（牽涉到超出本文範圍的波函數基底投影機制），為了最大化勝率，Alice 和 Bob 可以採取如下測量方向：

• A1 = 0°
• A2 = 90°
• B1 = 45°
• B2 = -45°

如此一來，最大勝率將提升為 $\cos^2(22.5^∘) \approx 0.8536$，大於不使用糾纏粒子的最大勝率 0.75。

要注意的是，在遊戲過程中，Alice 和 Bob 會各自測量持有的糾纏粒子，而測量行為會將這些粒子「消耗掉」，測量之後的它們不再糾纏。

「消耗」這個角度暗示我們，糾纏的粒子們可以被視為一種「工程資源」，用來無視距離的對量子態進行操作。

量子遙傳電路（quantum teleportation circuit）

能否透過消耗掉一對糾纏的粒子，把一筆量子資訊從甲地傳送到乙地？

首先澄清，就算用上了量子糾纏，我們也無法實現超光速的古典資訊傳遞。然而，我們可以藉由消耗一對糾纏的粒子，將 Alice 手上的量子態傳送到 Bob 手上，並且理論上能在乙地完美保持量子態原貌。

基本上牽涉到 5 個步驟：

1. 製備一對糾纏的粒子 a 和 b，狀態處於所謂的 Bell 態（Bell state）：$\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00} + \ket{11})$。這對粒子不論誰先被測、測出什麼結果，兩邊測量結果必定相同，都是 0 或者都是 1，並且兩種情況機率相等。
2. 將 a 分配給甲方，將 b 分配給乙方，並且 a 和 b 保持糾纏狀態。
3. 甲方將手上的粒子，和作為訊息的量子態 m，進行糾纏。至此，a、b、m 三個量子態都糾纏在一起。
4. 甲方對 a 和 m 進行測量，因而消耗掉 a，也把 m 塌縮掉。
5. 甲方將測量結果，以古典通訊方法（例如 WhatsApp）告訴乙方。乙方依照得知的資訊，對手上的 b 進行對應的量子閘操作。操作完之後，乙方手上擁有量子態 m。

以量子電路表示如下（量子閘符號，例如 H 閘、X 閘、Z 閘等，超出本文範圍，不做解釋；$\oplus$ 代表的 CNOT 閘於下文解釋）：

量子運算的擴容挑戰

關注量子運算的擴容問題，一個最基本的衡量依據是物理量子位元數（physical qubit count），也就是一個運算平台在物理層級上能夠同時製備、維護、操作的量子位元（qubit）實體數量。

過去三十年以來，單一平台（monolithic platform）上的量子位元數量持續的提升，近年來尤以中性原子平台的擴容速度最快，見下圖。

然而，在能夠彈性配置資源來進行單量子位元閘（1-qubit gate）以及雙量子位元閘（2-qubit gate）的前提下，今日的平台極限大約在三位數的物理量子位元。例如：

• Logical computation demonstrated with a neutral atom quantum processor 的 256 顆。
• Logical quantum processor based on reconfigurable atom arrays 的 280 顆。

橫跨不同量子位元類型，要持續在「單一平台」上提升量子位元數量，都遇到困難：

超導電路平台

超導電路平台，以低溫下的超導電路作為量子位元，使用電路的兩個最低能階作為 $\ket{0}, \ket{1}$，能階差距約為 20 µeV，以 $E=hf$ 換算成激發頻率約為 5 GHz。因此，在兩個能階之間轉換有賴 5GHz 的微波訊號。

然而，5GHz 的訊號，在波導裡對應的波長大約是 3 公分，和整個電路系統的尺度在同一個數量級，導致顯著的串音（crosstalk）：原本要驅動某特定量子位元的訊號，外溢出去影響其他量子位元。實務上，會透過元件尺寸差異，讓相鄰的量子位元激發頻率錯開。但是這個設計遇到的侷限之一，在於如果甲乙量子位元相鄰，讓甲的激發頻率小於乙，則甲的 $\ket{0} ↔ \ket{1}$ 激發頻率可能會在乙的 $\ket{1} ↔ \ket{2}$ 附近，因此當驅動甲的訊號外溢到乙，可能把乙推到 $\ket{2}$，超出 $\ket{0}, \ket{1}$ 的範圍，導致資訊丟失。這導致在單位頻寬內能夠容納的激發頻率數量有限。

更何況，整個超導電路系統的操作溫度通常在 0.015K 左右，必須放置在特製的冰箱裡；越多量子位元，導致需要越多的控制訊號線和讀取訊號線拉進冰箱，導致熱量的帶入、雜訊的增加，而雜訊會摧毀量子態。

離子阱平台

離子阱平台，以都卜勒冷卻（Doppler cooling）和邊帶冷卻（sideband cooling）等手法將離子冷卻到低溫，束縛在由交流電場（Paul 阱，例如 Cirac & Zoller 1995、Monroe et al. 1995）或者靜電場加上強磁場（Penning 阱，例如 Jain et al. 2018）所構成的位能阱裡，形成一顆顆獨立的量子位元。這些量子位元除了各自的量子態，在共享的電磁場裡會形成集體振動模式。正是透過將量子態耦合到這個集體模式，讓量子位元們可以進行量子糾纏，進而進行雙量子位元閘的運算。

然而，一旦量子位元數量上升，集體振動模式就會變得複雜、模式頻率之間的差距變小，容易產生錯誤耦合、引發錯誤的計算。因此，人們不得不放棄製造一個大陷阱、讓所有量子位元都在其中集體振動，改為製造多個獨立的小陷阱。這樣的作法導致必須能夠跨陷阱的搬運離子，增加架構複雜度，並且搬運途中也會產生雜訊，干擾量子態。

中性原子平台

中性原子平台，將以磁光陷阱和邊帶冷卻等手法冷卻到低溫的中性原子，以一顆原子搭配一道光鑷子的方式，束縛在空間中特定位置，形成矩陣排列的量子位元。

要提高量子位元數量，就要將控制這些量子位元的光學系統規模化，也就是能夠同時操作大量的光鑷子、激發和讀取用的雷射光束，同時維持高精度的頻率、相位、空間定位。

另外，在完成冷卻後，需將中性原子以光鑷子重排成規律的矩陣，量子位元越多，重排耗時越長、搬運距離越遠，導致雜訊提高。

為了創造量子糾纏，中性原子被激發至高激發的 Rydberg 態（Rydberg state），透過凡得瓦力，抑制鄰近中性原子被激發到高激發態的能力，這樣的機制導致相鄰的量子位元產生糾纏。然而，量子位元越多、密度越高，凡得瓦力越容易影響到不應被影響的鄰居，導致閘運算的錯誤。

若只提高量子位元數量，不提高密度，導致整體陣列尺寸變大，導致重排、原子搬運的距離和時間提高，雜訊增加。

量子超級電腦

考慮古典電腦的演化史。由於複雜的科學模擬問題超過單一機器的能力，1980-1990 年代興起的大規模平行處理（massively parallel processing），例如 Cray 的超級電腦，將多達兩千顆的處理器聯合在一起。

今日的量子運算，仍處於極早期的階段：尚未有任何單一量子機器能提供古典電腦無法提供的商業應用價值。為了加速擴容，研究者開始問：能否像古典超級電腦那樣，把多個小量子平台連接起來，建造量子超級電腦？

這項任務，面臨不存在於古典超級電腦的挑戰：量子態無法被複製，並且因為容易損耗而無法任意搬移。最好能讓多個量子平台共享量子態、跨平台操作這些量子態，整個過程中盡可能避免去搬運實體量子位元。最好能藉此將多個量子平台「虛擬化」成一個超大型量子平台，擁有等效的大量量子位元，解鎖超過任何古典電腦能力的新運算問題。

非局域門

其中的關鍵之一，就是應用量子糾纏的超距作用力。利用這種力量，我們可以實現「超距門」，更普及的說法是「非局域門」。考慮古典電腦，一個邏輯閘在晶片上的特定位置，佔據特定面積，透過閘的材料使用、結構設計等因素，讓輸入和輸出訊號形成我們需要的邏輯關係。例如，假如我們要將兩個古典位元進行 XOR 運算（$\oplus$），那麼我們得將這兩個位元的訊號傳送到位於電路系統裡「某一個地方」的 XOR 邏輯閘電路的輸入端，在其輸出端得到答案。非局域門，則是能夠無視距離的針對分處異地的多個輸入訊號執行邏輯操作。這就好比，在 101 號實驗室的一號量子平台有一個量子位元 a，其量子態為 x；在隔壁 102 號實驗室的二號量子平台有一個量子位元 b，其量子態為 y，透過非局域門，我們可以在不搬運 a 和 b 的情形下，隔空「打一個響指」，讓 b 的量子態變成 $x \oplus y$，代價是消耗一對預先共享的糾纏粒子，並且雙向各傳送一個古典位元。

以這篇論文（Optimal local implementation of non-local quantum gates）的 Remote CNOT 為例進行說明。CNOT 是一種雙量子位元的量子邏輯閘，全名是受控反閘（controlled-NOT）。它有兩個輸入：控制輸入（control in）和目標輸入（target in）；兩個輸出：控制輸出（control out）和目標輸出（target out）。CNOT 的運作規則很簡單：控制輸入是 1 時，目標輸入反轉後成為目標輸出；否則目標輸出等於目標輸入。CNOT 是最基本的邏輯閘之一，搭配單量子位元閘，就能組成通用閘集（universal gate set），角色類似古典運算的 {NAND}。

一般的 CNOT 運作在物理空間中相鄰（局域）的兩個量子位元。Remote CNOT 則超越局域性：

• Alice 和 Bob 分隔兩地，各有一個量子位元 a 和 b。
• 另外，Alice 和 Bob 各持有一對量子糾纏的量子位元之一 $e_a$ 和 $e_b$。
• 透過 Remote CNOT，Alice 和 Bob 可以對 a 和 b 執行邏輯上的 CNOT：以 a 為控制位元、b 為目標位元，若 a 是 0，則 b 保持不變；若 a 是 1，則 b 反轉。

看電路：

一共六個步驟：

1. 製備一對處於 Bell 態的糾纏粒子 $\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00} + \ket{11})$，兩個粒子分別稱作 $e_a, e_b$。
2. 將 $e_a, e_b$「分配」給 Alice 和 Bob（如何「分配」而不牽涉搬運實體量子位元，下文討論）。
3. Alice 將手上的量子位元 a 和 $e_a$ 進行糾纏。
4. Alice 測量 $e_a$（因此將其消耗掉），並將測量結果以古典通訊方法告訴 Bob，Bob 以其為控制位元對 $e_b$ 執行一個 CNOT 作為本地修正。
5. Bob 將手上的量子位元 b 和 $e_b$ 進行糾纏。
6. Bob 測量 $e_b$（因此將其消耗掉），並將測量結果以古典通訊方法告訴 Alice，Alice 以其為控制位元對 a 執行一個受控 Z 閘（controlled-Z，CZ）作為本地修正。

結束上述步驟後，Alice 與 Bob 手上的量子位元，經歷了「等效於局域 CNOT」的聯合狀態轉換：

$$\ket{a}\ket{b}\longmapsto \ket{a}\ket{a\oplus b}$$

盤點這個程序消耗的資源：

• 1 個糾纏位元（ebit）
• 兩個方向的通訊，各 1 個古典位元（cbit）

總體而言，「預先共享的糾纏」是一種可消耗的資源：藉由消耗糾纏 → 交換古典測量結果 → 施加局域的修正操作，我們可以讓相隔兩地的量子位元共同執行邏輯閘，整個過程中不需要搬運實體量子位元。

4. 商業野心

糾纏互換（entanglement swapping）

注意：上述的量子遙傳電路和非局域門，步驟 1 和 2 都是「製備一對糾纏粒子；將糾纏粒子分配給兩方」。問題是，如何「分配」這些糾纏粒子而不牽涉到搬運脆弱的實體量子位元呢？

事實上，「分配」這個說法並不準確。$e_a, e_b$ 並不是在某地製備好之後「分配」給 Alice 和 Bob 的。

實務作法是：用光子作為「飛行量子位元」，將 Alice 和 Bob 手上本來就有的一對量子位元轉變為糾纏態。

更具體一點，中性原子和離子阱平台，使用如下方法製備糾纏資源：

1. Alice 和 Bob 兩方各準備好一個量子位元，用於製備糾纏資源，記作 $e_a, e_b$。
2. 重複下述步驟直到成功：
   1. Alice 和 Bob 各自「激發」手上的量子位元，使其輻射出光子 $p_a, p_b$。$(e_a, p_a)$ 處於糾纏態，$(e_b, p_b)$ 也處於糾纏態。具體「激發」的作法，於下文討論。
   2. 對任何一方而言，成功糾纏後，這個「量子位元-光子」系統狀態可以如此表示：$\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}_e \ket{H}_p + \ket{1}_e \ket{V}_p)$。這代表，該系統有 1/2 機率會量測到「量子位元 0、光子水平（Horizontal）偏振」，另外 1/2 機率則量測到「量子位元 1、光子垂直（Vertical）偏振」。
   3. 將兩顆光子 $p_a, p_b$ 送到一個中間站。在這裡，我們嘗試對兩顆光子動點手腳，讓分隔兩地的 $e_a$、$e_b$ 變為糾纏態。作法包含兩個步驟：
      1. 將兩顆光子送入「兩個輸入、兩個輸出」的分光器，讓輸出端的兩顆光子無法分辨是從哪個輸入過來的（功能上類似加密貨幣的混幣器），因而可將兩顆光子視為一個整體。
      2. 去量測這兩顆光子的偏振方向。這個量測程序被稱為 Bell 態量測（Bell state measurement，BSM）。當量測結果顯示特定偏振方向組合時，我們可以宣告（herald）$e_a, e_b$ 已經成功進入糾纏態。如果沒有成功，回到步驟 2a 重來，直到這一步成功為止。

這樣的作法，將「$(e_a, p_a)$ 糾纏、$(e_b, p_b)$ 糾纏」轉為「$(e_a, e_b)$ 糾纏」，在 1993 年被提出，稱為「糾纏互換」。

拼圖還缺一個角落：Alice 和 Bob 兩方在步驟 2a，如何讓量子位元和光子產生糾纏呢？

量子位元-光子介面

要如何「激發」一個量子位元 Q，使其輻射出的光子 P 和 Q 處於糾纏態呢？

在自由空間中，有一個中性原子或者離子的量子位元 Q，以雷射脈衝激發 Q，然後它衰變、輻射出一顆光子 P。如果激發後的 Q，有多個衰變路徑可以「選擇」，那麼輻射後 Q 的能階，和 P 的狀態（例如 P 的偏振方向），就可能形成糾纏。但是且慢，在自由空間中做這件事情，有許多變數：

1. 激發後的 Q 會衰變到哪一個能階、輻射出何種頻率的 P 呢？
2. 激發後的 Q 朝哪一個方向輻射出 P？
3. 從激發到輻射之間的時間多長？

關於變數 1，請注意，我們希望輻射後的 Q 是回到 $\ket{0}$ 或者 $\ket{1}$ 這兩個能階的其中之一。一個具體的量子平台，使用特定元素、在特定外加磁場下的中性原子或者離子，會有特定的 $\ket{0}, \ket{1}$，作為計算子空間。計算子空間，以古典運算類比，好比 CMOS 晶片上的 0 伏特電位，和 1.2 伏特電位，前者解讀為邏輯 0，後者解讀為邏輯 1。要是輻射後的 Q 跑到 $\ket{0}, \ket{1}$ 之外，那就構成計算子空間的「洩漏」（leakage），如果無法補救、映射回子空間，就丟失了資訊。

關於變數 2，在自由空間中輻射可能朝各種方向隨機。當方向不可控，導致收集光子的效率低下。

關於變數 3，在自由空間中輻射的時間，也是隨機的，具體而言，衰變等待的時間呈指數分佈。相較之下，空腔能縮短並塑形光子的波包，讓兩地的光子更容易在分光器上重疊，重複速率也更高。

為了讓衰變路徑、輻射方向和時間可控，研究者使用空腔來改變量子位元周圍的電磁場環境。關鍵物理機制是 Purcell 效應（Purcell effect）。1946 年，研究核磁共振的 Edward Purcell，在一篇簡短會議摘要中提出，一個輻射體，如果位於一個空腔中，空腔的共振模式與輻射體的頻率共振，可以提高輻射體的輻射速率。這種由空腔引起的自發輻射速率改變，稱為 Purcell 效應。

把空腔做成兩面相對的鏡子，透過設計這個空腔的幾何形狀，然後把量子位元擺在空腔中適合的位置，進行激發和輻射，可以提高對上述三種變數的控制。如果其中一面鏡子的透射率高一點，可以作為「輸出鏡」，讓 Q 輻射出來的光子跑出來、送進光纖裡，帶往中間站。2007 年這篇論文（Single-Atom Single-Photon Quantum Interface）是實現上述設計的早期代表性論文之一。

Nu Quantum 的野心：資料中心級的分散式量子運算

Nu Quantum 是一間於 2018 年從劍橋大學卡文迪許實驗室（Cavendish Laboratory）衍生出的英國公司，致力於成為服務未來量子電腦資料中心的「Cisco」，提供量子電腦連線、共同運算的網路層解決方案。

Nu Quantum 正是使用空腔作為量子位元-光子介面（qubit–photon interface，QPI）。下圖出自 Nu Quantum 的 PCT 專利申請 WO2023073379A1；同一專利族的英國專利 GB2612578B 已於 2024 年獲准。

針對圖中主要元件進行說明：

• 104a 和 104b 就是構成空腔的兩面鏡子。
• 112 是量子位元。
• 106 是空腔本身（104a 與 104b 之間的空間）；用以激發量子位元的雷射脈衝，則沿圖中右側的虛線箭頭從側面打入。
• 左側的 114 是機械致動器，使用 PDH 穩頻技術，配合 102 和 108 這兩面鏡子（104a 和 104b 的延伸），透過反饋機制鎖定鏡子之間的距離，動態的保持空腔共振模式的頻率穩定。

根據 2025 年發表的論文（Optical Microcavities for Efficient Qubit-Photon Interfaces and Networked Quantum Computing），空腔長度約為 370 微米、腰部寬度約為 5 微米。2024 年的新聞稿則揭露空腔長度可以鎖定在 0.08 奈米以內，以常見的中性原子量子位元 Rb-87 躍遷波長 780 奈米而言，對應的頻率誤差約為 $2\times10^{-5}\%$（約 80 MHz）。

2024 年 O’Reilly et al.（Monroe 團隊）這篇論文（Fast photon-mediated entanglement of continuously-cooled trapped ions for quantum networking）堪稱目前最先進的成果，做到每秒創造 250 次（250 Hz）成功糾纏的頻率。由於「量子超級電腦」需要糾纏資源來執行非局域門，製造糾纏資源的頻率至關重要。Nu Quantum 的短期目標之一是將該頻率再提高兩個數量級。

Nu Quantum 的宏觀目標是在一個資料中心尺度的屋簷下，將多個量子平台（又稱為量子處理器，即 quantum processing unit，簡稱 QPU；目前僅接受離子阱與中性原子平台）虛擬化為單一分散式平台。解決方案一共分為三層：

1. QPI 為最底層，安裝在各量子平台中，負責創造上述的量子位元-光子糾纏，輸出光子。
2. 往上一層是量子網路單元（Quantum Networking Unit，QNU），將來自各 QPI 的光子進行路由、配對、重複執行 BSM 程序直到宣告成功，負責為任意一對 QPU 創造共享非局域糾纏資源。
3. 再往上一層為分散式量子糾錯（Distributed Quantum Error Correction，DQEC；2025 年的論文），負責橫跨 QPU 執行錯誤偵測和修正，使得所有 QPU 的物理量子位元能夠抽象化為一定數量的邏輯量子位元（logical qubit），供量子軟體使用。

CavilinQ 的野心：高速量子互聯

新創公司 CavilinQ 成立於 2025 年，同樣致力於以光子互聯來擴容量子電腦的長期願景。重點在於提高 QPI 的操作頻率和保真度，用來高速生產量子平台間的非局域糾纏資源。

CavilinQ 研發出的空腔，能更快的發射光子，其光子具有更高的方向性和發射時間精度，進而加速後續的宣告步驟。另外，團隊具備將五種以上不同空腔整合進量子記憶體的經驗，這樣的實作經驗是在現實世界部署量子互聯所必需的。

回顧 QPI 的運作關鍵，在於讓空腔共振模式的頻率，盡可能接近量子位元目標衰變躍遷的頻率；兩者越接近，就有越高的機率誘導量子位元做出所需的衰變。一個關鍵指標是空腔的精細度（finesse，一般記作 $\mathcal{F}$，是沒有單位的比值）。提高精細度（降低腔內損耗）並縮小光腰，可以提高量子位元與腔模的耦合，讓更多光子進入腔模、再經輸出鏡取出。

團隊發表的最新論文（High Finesse Buckled Microcavities）揭露一種新的空腔製程，在 780 奈米的波長上，精細度達到約 90 萬。簡述製程如下：

1. 將一片矽晶圓的表面進行平滑化處理。
2. 用離子束濺鍍技術，在矽晶圓的一面上鍍膜，結構為數十層高低折射率材料交替堆疊，在目標頻率區間創造高反射率。
3. 將矽晶圓翻過來，塗布光阻，進行矽蝕刻。光阻圖案開口區域的矽基板被貫穿，露出鍍膜的背面。鍍膜懸空後，內部應力導致鍍膜彎曲成凹面鏡。
4. 將光阻洗掉。單獨的鏡面晶片在步驟 3 的蝕刻中就已從晶圓上分離，不需要切割。將兩片凹面鏡相對黏合，形成空腔。

除了量子運算擴容外，團隊盼望其量子互聯技術能推動以下應用：

盲量子運算

盲量子運算的概念早在 2001 年就被提出（Childs，Secure assisted quantum computation，2005 年正式刊登）。伺服器對計算內容一無所知的特性，稱為「盲性」（blindness）。

設想：

• Alice 有寶貴的量子態 $\ket{\phi}$、寶貴的量子演算法 $U$，以及有限的量子運算資源（有量子記憶體、可以執行簡單的 Pauli 閘）。
• Bob 則有意出租其通用型量子電腦。

盲量子運算的協定，讓 Bob 能作為 Alice 的代理，執行 $U \ket{\phi}$、交付答案，過程中 Bob 無法得到任何有關 $U$ 或是 $\ket{\phi}$ 的資訊。

2008 年提出的 BFK 協定（Universal blind quantum computation，2009 年發表）讓客戶端不再需要量子記憶體或量子閘，只要準備隨機的單一量子位元送給伺服器，就能盲執行任意量子演算法。2016 年 Takeuchi et al.（Fault-tolerant verifiable blind quantum computing with logical state remote preparation）基於 BFK 協定，在理論上加強容錯性，讓伺服器端可以執行更長的運算時間、承受更大的雜訊，依然給出正確運算結果。

2025 年 Baranes et al.（Designing fault-tolerant blind quantum computation）設計出可擴展到容錯規模的架構，同時讓客戶端的需求維持在極低的程度：

• 客戶端只需要具備「針對來自伺服器的光子量子位元，在任意基底（方向）上進行測量」的能力即可，既不需要保存量子態，也不需要執行任何閘。
• 伺服器端仰賴 QPI，在協定中反覆將物質量子位元與光子耦合、將這些承載量子資訊的光子送到客戶端進行測量。

這樣的技術降低盲量子運算的客戶端成本、擴大這項技術的潛在市場。

量子超長基線干涉技術

量子互聯技術可應用於宇宙觀測。具體概念是，透過量子糾纏的非局域的特性，將天文干涉儀的基線做得更長來提高解析度，並透過避免傳輸天文光子來提升靈敏度。

先針對幾個著名的天文干涉儀系統，進行簡短介紹。

1. 事件視界望遠鏡（Event Horizon Telescope，EHT），於 2000 年代初期開始概念性試驗，2009 年計畫發起，2017 年達到可正式觀測的規模。利用的技術稱為「特長基線干涉測量法」（very long baseline interferometry，VLBI）：先將分佈各地的望遠鏡以原子鐘進行精確時間同步，然後同時觀測同一個遙遠天體發出的電波，各自將電波的相位資訊記錄在時間同步的電訊號中，所有電訊號集中至相關器中心執行時間校正和干涉計算，產生干涉條紋，進而重建天體影像。人類史上第一張黑洞影像就是由 EHT 捕捉到的。2017 年 4 月全球 8 座望遠鏡同時按下快門，在大約 40 個小時的曝光時間內搜集約 3.5PB 的數據，2019 年 4 月完成數據處理，公布影像。EHT 操作波長約 1.3 毫米（230 GHz），即微波頻段，受到原子鐘的極限以及大氣層水氣干擾問題所侷限，觀測頻率難以進一步提升。角解析度達到 20 微角秒，相當於能從地球分辨出月球表面上的乒乓球。

2. 海軍精密光學干涉儀（Navy Precision Optical Interferometer，NPOI），1994 年建成，陣列呈 Y 字形，三條臂各長 250 公尺，定天鏡（siderostat）可以搬到臂上不同的觀測墩（pier），藉此調整基線長度，進而影響解析度。來自星星的光線走真空金屬管道，搭配調整光路長度用的延遲線，讓各站搜集到的微弱星光同時抵達中間的干涉站進行干涉。設計上的最大基線達 437 公尺，對應約 0.2-0.4 毫角秒的理論角解析度；操作頻段是比微波還要更高頻的可見光，操作波長約 450-850nm。相比之下，哈伯望遠鏡對可見光的角解析度約 50 毫角秒。
3. 高角解析度天文中心（Center for High Angular Resolution Astronomy，CHARA），1999 年首次取得干涉條紋，2000 年落成啟用。最大基線 331 公尺，操作頻段是可見光和近紅外光，波長 500-2500nm，對應的角解析度約 0.3-1.5 毫角秒（隨波長而定）。和 NPOI 一樣採用的是微弱星光從各望遠鏡走真空金屬管道抵達干涉站進行干涉的作法。系統一共包含六座望遠鏡，兩兩配對可提供 15 種不同的基線長度選擇。

NPOI 和 CHARA 的限制在於，若要進一步提高解析度，則必須把基線變長，加劇微弱星光在管道中的衰減與相位擾動。若改用無線電 VLBI 的作法，在各站以本地振盪器各自量測，又會引入零點漲落造成的真空雜訊，對微弱的星光而言靈敏度太差。

有沒有辦法讓抵達不同觀測站的星光進行干涉，而不必在地表上傳輸微弱的星光？

有辦法：執行非局域干涉。

理論構想最初約在 2011 年由 Gottesman et al.（Longer-Baseline Telescopes Using Quantum Repeaters）提出，同年 Mankei Tsang（Quantum Nonlocality in Weak-Thermal-Light Interferometry）證明在弱光條件下，把兩站光場放在一起量測的「非局域」方法，在測量精確度上嚴格優於兩站各自量測、再合併結果的「局域」方法（例如無線電 VLBI 的外差偵測）。

到了 2025 年，Stas et al.（Entanglement assisted non-local optical interferometry in a quantum network）以實驗室的弱雷射脈衝模擬星光，驗證了非局域干涉望遠鏡的概念：兩站實際相距約 6 公尺，在兩站之間加入光纖捲後，有效基線延長到 1.55 公里。具體作法如下：

1. 兩處觀測站各有量子記憶體，記憶體內含一個記憶用的量子位元，以及一個通訊用的量子位元。稱記憶用量子位元為 $m_1$、$m_2$，通訊用量子位元為 $c_1$、$c_2$。
2. 為兩處觀測站準備好一個異向疊加的糾纏對 $(\ket{\uparrow\downarrow} - \ket{\downarrow\uparrow})/\sqrt{2}$，將糾纏態存在記憶用量子位元 $(m_1, m_2)$，延長保存時間。
3. 星光隨時可能以疊加態的形式，同時抵達兩個觀測站，稱其為天文光子。
4. 當天文光子抵達時，有一定機率和兩站各自的量子記憶體裡的通訊用量子位元產生耦合，進而將光子資訊寫入 $c_1$、$c_2$。
5. 將天文光子導出，在分光器上和本地振盪器送出的弱同調光脈衝混光（其光子數本身就不確定），藉以抹除「觀察到天文光子具體抵達哪一個觀測站」的可能性，確保維持其疊加態。
6. 兩站的量子記憶體，分別針對內部兩個量子位元執行一個 CNOT（以記憶用量子位元為控制位元）。記得 $(m_1, m_2)$ 在一開始已經處於糾纏態。至此，若 $c_1$、$c_2$ 攜帶天文光子資訊，該資訊已耦合進 $(m_1, m_2)$。
7. 分別測量 $c_1$、$c_2$ 的自旋方向。如果測出同向，則我們確知天文光子資訊有被系統捕獲。若測出異向，則系統沒有捕獲天文光子。
8. 若有捕獲天文光子，此時系統波函數為 $(\ket{\downarrow_L \uparrow_R} - e^{\pm i \phi} \ket{\uparrow_L \downarrow_R})/\sqrt{2}$，正負號取決於前一步 $c_1$、$c_2$ 是測出上還是下，$\phi$ 則為我們真正在乎的天文光子疊加態在兩站之間的相位資訊。
9. 測量此系統波函數。
10. 執行上述步驟 2-9 多次，在有捕獲天文光子的前提下（由第 7 步判斷），反覆測量最後的系統波函數，透過統計方法可估計出 $\phi$ 的數值。

有了天文光子的相位資訊，搭配基線長度等系統資訊，就可以反推天體的位置以及還原出天體影像。

遙想有朝一日能夠建造像是 VLBI 那樣分佈全球地表的非局域干涉觀測站網路。若要更長的基線，並消除大氣水氣干擾，可以架設人造衛星網路來承載這個系統，允許人類更進一步探究璀璨星空的奧秘。